Pré requis:

Les conversions
Le triangle

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent : Le cône

Objectif suivant : le tronc de cône

Info : 1. Les unités de volumes et de capacité. 2. Liste des cours sur « le volume »

DOSSIER : LE CÔNE : calculs d’ AIRE(S) et calcul de VOLUME

Chapitres :
	1. Notion : matériel intuitif
	2. Cône circulaire :
	3. Le cône de révolution
	4. Développement du cône de révolution : ( l’apothème)
	5. Angle de développement
	6. Aire latérale
	7. Surface totale
	8. Volume du cône

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

1°) Notion : matériel intuitif

Fabriquez , avec du carton, un triangle rectangle, faite le tourner sur un des côtés de l’angle droit. Imaginer – vous le solide qui est engendré par un tour complet. Quelle est la forme de la base ? Où se trouve le sommet ? Quelle est la forme de la surface latérale ?

Découper un cercle en carton ; tout autour avec du papier faites un cornet qui s’adapte à ce cercle et se termine en pointe ;Découpez ce qui dépasse et coller le cornet au cercle. Nous avons un cercle ;

2°) Cône circulaire :

Un cône circulaire droit est un solide engendré par la révolution complète d’un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit.

3°) Le cône de révolution

Le cône de révolution est engendré par un triangle limitée par une ligne « SM » , dont un côté de l’angle droit tourne autour d’un axe « x x ’ » de son plan .

Remarques : si la base du cône est circulaire et si le sommet du cône est situé sur la perpendiculaire à la base passant par son centre le cône est droit à base circulaire.

Un tel cône est engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un de ses cotés pris comme axe , on l’appelle pour cela cône de révolution. L’hypoténuse est la « génératrice »

L’angle formé par l’axe et la génératrice est le « demi- angle »au sommet ; sont double est l’angle du cône.

La hauteur d’un cône est la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base .

4°) Développement du cône de révolution :

Un cône de révolution peut – être considéré comme une pyramide régulière inscrite dont le nombre des faces latérales aurait été doublé indéfiniment.

Conséquences :

a) les génératrices sont en même temps arêtes latérales et « apothèmes ».

b) les résultats établis pour la pyramide sont valables pour le cône .

Le développement de la surface latérale du cône est un secteur de cercle dont le rayon est égal à la génératrice du cône.

L’arc de ce secteur est égal à la longueur entière de la circonférence de la base du cône.

5°) Angle de développement

L’Arc AA’ peut s’exprimer de deux manières :

Mes. Arc AA’ = 2 p R

Ou

Mes. Arc AA’ = 2 p a ( )

D’où la valeur de l’angle « a » :

Mes. a⁰ = 360 °

6°) AIRE LATERALE :

La surface latérale d’un cône droit est égale à la moitié du produit de la circonférence de la base par la génératrice.

On admettra le résultat suivant :

L’aire de la surface latérale d’un cône de révolution est égale au demi-produit du périmètre du cercle de base par la longueur de la génératrice .

A = p Ra

L’aire totale « S » s’obtient en ajoutant l’aire du cercle de base.

S = p Ra + p R²

Ou

S = p R (a + R )

Surf . latérale =

Ou A = =

Nota : la génératrice est appelée « apothème » du cône.

7°) SURFACE TOTALE.

La surface totale est la somme de la surface latérale et de la surface de la base.

Surf. Totale = surf. latérale + base = p r l + p r² = p r ( l + r )

Application : Un cône a 0,80 m de rayon et 3 m d’apothème. Trouver l’aire de sa surface latérale et l’aire de sa surface totale.

1°) Surf. latérale = p r l = 3,1416 0,80 3 = 7,53984 m²

2°) Surface totale = 7,53984 m² + ( 3,1416 0,80 0,80) = 9,55044 m²

ou surf. Totale = p r ( l + r )= 3,1416 0,80 (3 + 0,80 ) = 9,55044 m²

8°) VOLUME du cône .

Le volume du cône à base circulaire est égal au tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur.

V = Bh ou =

Suivant les cas ces deux lettres désignent le rayon : «  R = r »

Application : Quel est le volume d’un cône de 0,08 m de rayon et 2,7m de hauteur ?

Réponse :

V = = 1,80956 m³

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1 ) Donner la formule permettant de calculer le volume d’un cône .

2 ) Donner la formule permettant de calculer l’aire totale d’un cône .

EVALUATION

I ) Un cône a 0,80 m de rayon et 3 m d’apothème. Trouver l’aire de sa surface latérale et l’aire de sa surface totale.

II ) Quel est le volume d’un cône de 0,08 m de rayon et 2,7m de hauteur ?

III ) Calculer :

- l’aire de la surface latérale

- l’aire totale

- le volume

- la valeur de l’angle de développement du cône avec les données suivantes :

a =

R =

h =

IV) Calculer le volume d’un cône de 40 mm de diamètre et 30 mm de hauteur.

INTERDISCIPLINARITE

1°) Une tour ronde est terminée par un toit conique de 7,60m de diamètre et 5,10m de côté .Combien coûtera la couverture en zinc de ce toit à 2500 F le m²

2°) Quel est en cL la capacité d’un verre conique qui a 11 cm de profondeur et 8 cm de diamètre à l’ouverture ?

3°) Le réservoir d’un avion a la forme d’un cylindre terminé à chaque extrémité par un cône . Les dimensions intérieures du réservoir sont : longueur du cylindre 0,60 m , diamètre 0,40 m, hauteur de cônes 0,25 m . Calculer en litre la capacité du réservoir .